GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCINFERÊNCIA NO R2

DEFINIÇÃO: Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos do plano, cuja distância a um ponto fixo é constante. Esse ponto fixo é chamado de centro, e essa distância é chamada de raio.
Equação da Circunferência. Lembre do círculo que existe no equipamento multiplano. Imagine passar um barbante em torno desse círculo. Qualquer ponto desse barbante tem a mesma distância para o centro do círculo.
Vamos considerar uma circunferência de centro C de coordenadas (a,b). Qualquer que seja o ponto P de coordenadas (x,y), a distância do ponto P(x,y) ao ponto C(a,b) é igual ao raio R, ou seja, dPC=R.
A distância entre dois pontos P(x,y) e C(a,b) é dada pela fórmula dPC=raiz quadrada de [(x-a)^2+(y-b)^2].
Logo, raiz quadrada de [(x-a)^2+(y-b)^2]=R.
Elevando-se os dois membros da igualdade ao quadrado, temos: (x-a)^2+(y-b)^2=R^2
chamada equação reduzida da circunferência. 
Exemplo: determine a equação reduzida da circunferência de centro C(2,-3) e raio 5.
Solução:
Temos a=2; b=-3 e R=5. Assim:
(x-2)^2+(y-(-3))^2=5^2, logo:
(x-2)^2+(y+3)^2=25
Obs. A equação da circunferência de centro na origem e raio R é dada por: x^2+y^2=R^2 (por que?)
Como a origem é o ponto (0,0) a equação da circunferência é dada por (x-0)^2+(y-0)^2= R2.
 Exemplo: a equação da circunferência de centro na origem e raio 13 é dada pela fórmula x^2 + y^2= 169.


Equação Geral da Circunferência
Utilizando os produtos notáveis para desenvolver a equação reduzida da circunferência, obtemos a equação geral. Assim:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=R^2
Agrupando-se segundo a ordem decrescente das potências de x e y.
x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-R^2=0
x^2+y^2+(-2a)x+(-2b)y+a^2+b^2-R^2=0.
Fazendo -2a=m; -2b=n e a^2+b^2-R^2=k, temos a equação geral da circunferência:
x^2+y^2+mx+ny+k=0.
No exemplo anterior, desenvolvendo a equação reduzida 
(x-2)^2+(y+3)^2=25
x^2-4x+4+y^2+6y+9=25
x^2+y^2-4x+6y-12=0

Há, basicamente dos tipos de exercícios envolvendo circunferência no R^2: são dados, de forma direta ou indireta, as coordenadas do centro e o valor do raio e pede-se a equação da circunferência ou é dada a equação da circunferência e pede-se o centro e o raio.

Cálculo do centro e do raio dada a equação reduzida
Vamos mostrar o procedimento através de um exemplo: Determine o centro e o raio da circunferência de equação 
(x-2)^2+(y+3)^2=25.
Solução: Comparando a equação dada com a equação reduzida da circunferência temos:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 é equivalente a (x-2)^2+(y+3)^2=25.
-a=-2, ou seja a=2
-b=3, ou seja, b=-3
R^2=25, ou seja, R=5.
Logo temos que centro C(2,-3) e raio R=5.
(obs. O procedimento acima não precisa desses cálculos. Para achar o centro bastar trocar o sinal dos números que estão dentro dos parênteses e para achar o raio basta tirar a raiz quadrada do termo independente). 
Outros exemplos:
1. (x+1)^2+(y-7)^2=169, tem centro C(-1,7) e raio R=13.
2. (x-13)^2+(y+4)^2=81, tem centro C(13.-4) e raio R=9.
3. (x-5)^2+(y-9)^2=11, tem centro C(5,9) e raio R=raiz quadrada de 11.

Cálculo do centro C(a,b) e do raio R quando é dada a equação geral:
Comparando as duas equações a seguir:
x^2+y^2+(-2a)x+(-2b)y+a^2+b^2-R^2=0 e x^2+y^2+mx+ny+k=0.
Cálculo dos valores de a e b do centro C(a,b)
-2a=m, então, a=-m/2 (na prática, para achar o valor de a, troca-se o sinal do coeficiente de x e divide-se por 2).
-2b=n, então b=-n/2. (na prática, para achar o valor de b, troca-se o sinal do coeficiente de y e divide-se por 2).
Cálculo do valor do raio R: basta substituir os valores encontrados de a e b na fórmula a seguir:
a^2+b^2-R^2=k
Exemplo: determine o centro e o raio da circunferência representada pela equação:
x^2+y^2-4x+6y-12=0.
Cálculo do centro C(a,b).
a=-(-4)/2=2 (troca o sinal do coeficiente de x e divide por 2).
b=-6/2=-3 (troca o sinal do coeficiente de y e divide por 2).
Logo, C(2,-3).
Cálculo do raio: basta substituir os valores de a e b na fórmula a^2+b^2-R^2=-12. Assim:
2^2+(-3)^2-R^2=-12
4+9-R^2=-12
13-R^2=-12
13+12=R^2
R^2=25
R=5
Outros exemplos:
Calcule o centro e o raio de cada equação a seguir:
a) x^2+y^2-2x+8y+8=0 
Centro C(a,b)
a=1(troca-se o sinal do coeficiente de x e divide-se por 2).
b=-4(troca-se o sinal do coeficiente de y e divide-se por 2)
Logo, C(1,-4).
Raio R: 
a^2+b^2-R^2=8
1^2+(-4)^2-R^2=8
1+16-8=R^2
R^2=9
R=3.
b) x^2+y^2+10x=0
Completando-se os termos que faltam:
x^2+y^2+10x+0y+0=0
Cálculo de centro C(a,b)
a=-5 (troca-se o sinal do coeficiente de x e divide-se por 2).
b=0  (troca-se o sinal do coeficiente de y e divide-se por 2).
Logo C(-5,0)
Raio R: 
a^2+b^2-R^2=0
(-5)^2+0^2-R^2=0
25-R^2=0
R^2=25
R=5.
c) x^2+y^2=121
centro na origem, ou seja,  C(0,0) e raio R=raiz quadrada de 121 = 11